几何/第 18 章

三角学

三角学是数学的一个分支，它处理三角形边和角的测量。使用三角函数，可以利用最少的信息来确定边和角的度量（即“解三角形”）。

什么是直角三角形？

直角三角形是指其中一个角为 90º 的任何三角形。直角三角形由两条短边（在较小的角度对面）和一条长边（在直角对面）组成。直角三角形的边有特殊的名称。较小的两条边称为直角边，较长的边称为斜边（发音为 hi-POT-uh-noose）。

请注意，左下角是 90 度。标记为“对边”和“邻边”的边是直角边，这些名称是相对于角“a”而言的。这些术语在讨论直角三角形的边时将始终使用，并且始终相对于某个角给出。记住，斜边始终是最长的边，并且始终在直角对面。

练习

让我们练习一下我们所学到的知识。对于下面的三角形，请填空。

斜边的长度是多少？_________
角“a”对边的长度是多少？_________
角“a”邻边的长度是多少？_________

查看答案

正确答案分别是 10 英尺、8 英尺和 6 英尺。

三角函数

三个最常见的三角函数是正弦（缩写为“sin”）、余弦（缩写为“cos”）和正切（缩写为“tan”）。这些三角函数可以根据你拥有的信息来确定。如果给出了角度，则在大多数科学计算器中输入 sin(x)、cos(x) 或 tan(x)（其中“x”是角度）将得出给定值的正弦、余弦和正切。另外三个函数分别是余割（缩写为“csc”）、正割（缩写为“sec”）和余切（缩写为“cot”或“ctn”），分别是正弦、余弦和正切的倒数函数。

Soh Cah Toa

图 1. 在这个例子中，角 A 是参考角，因此边 a 必须是对边，边 c 是邻边。边 b 是斜边。

在直角三角形中，如果至少给出两条边的长度，则可以使用通常被称为记忆技巧Soh Cah Toa 的方法来确定正弦、余弦或正切。这指的是

Soh：sine = opposite / hypotenuse
Cah：cosine = adjacent / hypotenuse
Toa：tangent = opposite / adjacent

术语对边和邻边是相对于参考角而言的，参考角是你计算的基础。在图 1 中，由于角A是参考角，因此该角的对边是边a。虽然有两条边与角A相邻，但边b被指定为斜边，因此边c是邻边。因此，在图 1 中

sin(A) = a/b
cos(A) = c/b
tan(A) = a/c

请注意，“sin(A)”读作“A 的正弦”，“cos(A)”读作“A 的余弦”，“tan(A)”读作“A 的正切”。

例如，如果a = 7和c = 14，则需要找到角 A 的正切，因为其他两个比率需要斜边，而斜边是不可用的。由于正切是对边除以邻边，因此你会得到tan(A) = 7/14，它可以简化为二分之一。

现在怎么办？

注意：请先确保你的计算器使用度数表示角度。

在确定三角形的度量时，正弦、余弦和正切都有一个函数：确定角度。上面已经确定参考角A的正切为 1/2。如果在科学计算器中输入 tan^-1(1/2)，你会看到你将得到A的角度，它约为 26.6°。你现在有两个角度：26.6° 和 90°，因为这是一个直角三角形。由于三角形中所有角的和为 180°，因此从 180 中减去两个已知的角度，你将得到第三个角度：63.4°。

求解三角形的边和角度的度量将在第 19 章中更深入地介绍。