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几何/第 5 章

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第 5.1 节 - 证明三角形全等的 方法

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SSS 全等

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边边边全等定理：如果一个三角形的三个边等于另一个三角形的对应边，那么这两个三角形全等。

SAS 全等

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边角边全等定理：如果一个三角形的两边和它们的夹角等于另一个三角形的对应边和它们的夹角，那么这两个三角形全等。

我们可以证明 ΔRPQ 全等于 ΔVST，因为角 RQP 和角 VTS 都为 100 度。线段 PQ 和 ST 都是 4 个单位，线段 RQ 和 VT 都是 5 个单位。因此，这两个三角形根据边角边全等定理而全等。

HL 全等

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斜边直角边全等定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边等于另一个直角三角形的对应斜边和直角边，那么这两个三角形全等。

A 平方加 B 平方等于 C 平方

ASA 全等

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角边角全等定理：如果一个三角形的两个角和它们的夹边等于另一个三角形的对应角和它们的夹边，那么这两个三角形全等。

角 BAP 是直角，角 PDC 也是直角，所以它们相等。三角形 BAP 的角 APB 和三角形 DPC 的角 CPD 是对顶角，它们相等。线段 AP 和 PD 都是 5 个单位。由于，三角形 BAP 的两个角和一条边等于三角形 DPC 的两个角和一条边，因此这两个三角形全等。

AAS 全等

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角角边全等定理：如果一个三角形的一条边和两个角等于另一个三角形的对应边和对应角，那么这两个三角形全等。

我们可以证明 ΔABC 全等于 ΔYXZ，因为角 CAB 和角 ZYX 全等（都是 75 度），角 ACB 和角 YZX 全等（都是 65 度），并且 AB 全等于 YX（非夹边）。因此，这两个三角形根据角角边全等定理而全等。

AAA 不起作用

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三角形的三个对应角并不足以证明两个三角形全等。 但是，它们确实可以证明两个三角形相似。

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SSA 不起作用

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两条相邻边和一个角不能证明三角形全等。

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全等三角形的基本原理

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猜想 1：如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等。

章节回顾

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为了证明两个 三角形 全等，需要三个信息。这三个信息可以是

  • 所有三条边的长度
  • 两条边的长度和夹角的大小
  • 两个角的度数和夹边的长度
  • 两个角的度数和另一条边的长度

对于直角三角形，只需要两个信息。如果你能证明每个三角形的斜边和另一条边相等，那么你就能知道这两个三角形整体是全等的。

值得注意的是，你不能只根据角的度数来证明两个三角形全等。即使你知道了每个三角形的所有角，它们的边长也可能不同。

词汇

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  • 边边边全等定理：如果一个三角形的三个边等于另一个三角形的对应边，那么这两个三角形全等。
  • 边角边全等定理：如果一个三角形的两边和它们的夹角等于另一个三角形的对应边和它们的夹角，那么这两个三角形全等。
  • 角边角全等定理：如果一个三角形的两个角和它们的夹边等于另一个三角形的对应角和它们的夹边，那么这两个三角形全等。
  • 角角边全等定理：如果一个三角形的一条边和两个角等于另一个三角形的对应边和对应角，那么这两个三角形全等。
  • 斜边直角边全等定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边等于另一个直角三角形的对应斜边和直角边，那么这两个三角形全等。

练习

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每道练习的答案可以在附录中找到。

  1. 在三角形 RUN 和三角形 HID 中，角 R = 角 D，角 U = 角 I，并且 RU = DI。如果有的话，哪些三角形全等，为什么？
  2. 在三角形 FRE 和 SLV 中，FR = LV，EF = SL，并且角 F = 角 S。如果有的话，哪些三角形全等，为什么？
  3. 在三角形 MUS 和 CHR 中，角 S = 角 H，US = HR，并且角 U = 角 R。如果有的话，哪些三角形全等，为什么？
  4. 在三角形 QWE 和 RTY 中，QW = TY，WE = RY，并且 QE = RT。如果有的话，哪些三角形全等，为什么？

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取自 "https://wikibooks.cn/w/index.php?title=Geometry/Chapter_5&oldid=4415094"
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