几何/第 14 章

勾股定理

勾股定理展示了直角三角形两条直角边 (a 和 b) 与斜边 (c) 之间的关系。我将使用的直角三角形如下所示。

勾股定理指出，在直角三角形中，直角边 a 的平方 (a²) 加上直角边 b 的平方 (b²) 等于斜边 c 的平方 (c²)。

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

总结：勾股定理是 a²+b²=c²，或直角边² + 直角边² = 斜边²。它只适用于直角三角形。

既然我们已经了解了勾股定理，那么请看一下下面的图形。

看看这个大方形。大方形的面积可以写成

(a+b)(a+b)

或者写成

(a+b)²

因为每条边的长度都是 (a+b)。看看中间倾斜的正方形。它的面积可以写成

c².

现在，看看大方形角上的每个三角形。每个三角形的面积是

½ab

有四个三角形，所以四个三角形合起来的面积是

4(½ab)

大方形的面积等于四个三角形的面积加上倾斜正方形的面积。这可以写成

(a+b)²=c²+4(½ab)

使用代数，这可以简化。

      (a+b)²=c²+4(½ab)
      (a+b)(a+b)=c²+2ab  
      a²+2ab++b²=c²+2ab

 -2ab      -2ab

a²+b²=c²

现在我们可以看到勾股定理为什么成立，或者换句话说，我们可以看到勾股定理的证明。

但是，这个证明不是基于欧几里得几何。它不是基础的。

还有数千种其他证明勾股定理的方法。

总结：勾股定理可以使用图形来证明。