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几何/第 20 章

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一些直角三角形特别容易求解；它们被称为特殊直角三角形。有两种：45-45-90 三角形和 30-60-90 三角形，以它们的角度度数命名。每组中的所有三角形彼此相似。

第 20.1 节 - 45-45-90 三角形

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45-45-90 三角形是唯一既是等腰又是直角的三角形。它们的边长相等，斜边是边长的二倍的平方根。例如，如果 ABC 是一个等腰直角三角形，其中 A 是直角，AB 的长度为 3，那么 AC 的长度也为 3，BC 的长度为 3*sqrt(2)，即 4.242... 通过勾股定理很容易找到这种关系：1^2+1^2=2，因为 a^2+b^2=c^2。在等腰直角三角形的斜边上画垂线，将其分成两个较小的等腰直角三角形，每个三角形都与原三角形相似，边长比为 sqrt(2)。

第 20.2 节 - 30-60-90 三角形

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30-60-90 三角形的边长比不同，为 1：三的平方根：2。这也由勾股定理证实：1^2+3=2^2。显然，最短的边与最小的角相对，因此，例如，在三角形 ABC 中，角 A、B 和 C 的度数分别为 30、60 和 90 度，AB 的长度为 1，BC 的长度将为 1/2，AC 的长度将为 sqrt(3)/2，即 0.866...

当然，这些三角形可以通过三角学来求解，但这些比率提供了一种捷径。事实上，它们有助于我们记住 0 到 90 度范围内最重要的三角函数值

sin(0)=0   sin(30)=1/2        sin(45)=sqrt(2)/2, or 1/sqrt(2)  sin(60)=sqrt(3)/2   sin(90)=1
cos(0)=1   cos(30)=sqrt(3)/2  cos(45)=sqrt(2)/2, or 1/sqrt(2)  cos(60)=1/2         cos(90)=0
tan(0)=0   tan(30)=sqrt(3)/3  tan(45)=1                        tan(60)=sqrt(3)     tan(90) is not defined.

Note that sine divided by cosine equals tangent, and also that
sin(90-x)=cos x, cos(90-x)=sin x, and tan(90-x)=1/tan x.

练习

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1. 三角形 ABC 是直角三角形，且 AB=BC=5。
求 AC 和角度大小。
2. 三角形 XYZ 中，X=30 度，Y=90 度，XY=6 米。
求 Z 的大小和 XZ、YZ 的长度。
3. 一块直角三角形的院子要在一栋 10 米宽的房子后面围起来。房子将是院子的斜边，其中一个篱笆到房子的角度是另一个角度的两倍。
求所需篱笆的长度。

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取自 “https://wikibooks.cn/w/index.php?title=Geometry/Chapter_20&oldid=3154719”
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