几何/归纳和演绎推理

有两种方法可以推进知识：从已知理念推理和综合观察。在归纳推理中，你观察世界，并试图根据你的观察进行解释。你从没有先验假设开始。演绎推理包括从已知事实进行逻辑断言。

基本术语

在开始理解逻辑并由此开始证明几何定理之前，必须先了解一些词汇和符号。

条件语句：条件语句是指一个语句暗示另一个语句。条件语句包含两个部分：条件和结论，前者暗示后者。条件语句总是以“如果语句 1，则语句 2”的形式出现。在大多数数学符号中，条件语句通常以p ⇒ q的形式写出，读作“如果p，则q”，其中p和q是语句。

逆命题：一个逻辑语句的逆命题是指结论变为条件，反之亦然；即，p ⇒ q 变为 q ⇒ p。例如，语句“如果一个人是女性，那么他们就是人类”的逆命题是“如果一个人是人类，那么他们就是女性”。条件语句的逆命题不一定与原语句具有相同的真值，尽管有时会相同，这一点将在后面变得明显。

并且：并且是一个逻辑运算符，只有当两个语句都为真时才为真。例如，语句“钻石是人类已知的最硬物质并且钻石是一种金属”为假。虽然前一个语句为真，但后一个语句为假。然而，语句“钻石是人类已知的最硬物质并且钻石是由碳组成的”为真，因为两个部分都为真。

或者：如果两个语句用“或者”连接在一起，那么“或者”语句的真值取决于构成它的两个语句中是否有至少一个为真。例如，语句“星期二是在星期一之后或者星期四是在星期六之后”的真值为“真”，因为尽管后一个语句为假，但前一个语句为真。

非：如果一个语句前面有“非”，那么它在评估该语句的反真值。 “非”的符号是。例如，如果语句p是“猫王已死”，那么¬p 就是“猫王没有死”。当它与包含“所有”一词的语句相关时，“非”的概念可能会导致一些混淆。例如，如果r是“所有男人都有头发”，那么¬r 就是“所有男人都没有头发”或者“没有男人有头发”。不要将此与“并非所有男人都有头发”或“有些男人有头发”混淆。 “非”应该适用于语句中的动词：在这种情况下是“有”。¬p 也可以写成 NOT p 或 ~p。NOT p 也可能被称为“p 的否定”。

否命题：条件语句的否命题是指条件的否定暗示结论的否定。例如，p ⇒ q 的否命题是 ¬p ⇒ ¬q。与逆命题一样，否命题不一定与原条件语句具有相同的真值。

双条件语句：双条件语句是指条件和结论相互暗示。双条件语句以“当且仅当”开头。例如，“当且仅当p，则q”意味着p暗示q 并且q 暗示p。

前提：前提是指其真值最初已知的语句。例如，如果有人说“如果今天是星期四，那么自助餐厅就会供应煎饼”，并且知道今天是哪天，那么前提就是“今天是星期四”或“今天不是星期四”。

⇒：表示条件语句的符号。p ⇒ q 读作“如果p，则q”。

当且仅当：当且仅当是“当且仅当”的缩写形式。它读作“当且仅当”。

⇔：表示双条件语句的符号。p ⇔ q 读作“当且仅当p，则q”。

∴：表示“因此”的符号。p ∴ q 表示知道p 为真（p 为真是前提），并且通过逻辑推断得出q 也必须为真。

∧：表示“并且”的符号。

∨：表示“或者”的符号。

演绎推理

演绎逻辑有几种形式。最常见的演绎逻辑论证之一是肯定前件，它指出

p ⇒ q

p ∴ q

(如果 p，则 q)

(p，因此 q)

肯定前件的一个例子

如果我碰了脚趾，那么我会感到疼痛。

我碰了脚趾。

因此，我感到疼痛。

另一种形式的演绎逻辑是否定后件，它指出以下内容。

p ⇒ q

¬q ∴ ¬p

(如果 p，则 q)

(非 q，因此非 p)

否定后件与肯定前件一样是有效的逻辑形式。以下是一个使用否定后件的例子。

如果今天是星期四，那么自助餐厅就会供应煎饼。

自助餐厅没有供应煎饼，因此今天不是星期四。

另一种形式的演绎逻辑被称为如果-那么传递性质。简而言之，这意味着可以存在逻辑链，其中一件事暗示另一件事。如果-那么传递性质指出

p ⇒ q

(q ⇒ r) ∴ (p ⇒ r)

(如果 p，则 q)

((如果 q，则 r)，因此 (如果 p，则 r))

例如，考虑以下一系列如果-那么语句。

如果今天是星期四，那么自助餐厅就会供应煎饼。

如果自助餐厅会供应煎饼，那么我会很高兴。

因此，如果今天是星期四，那么我会很高兴。

归纳推理

归纳推理是一种逻辑论证，它不一定会证明一个语句，而是假设它。归纳推理在生活中经常被使用。民意调查是使用归纳推理的一个例子。如果对 1000 人进行民意调查，其中 300 人选择 A 选项，那么可以推断出任何人口中 30% 的人也会选择 A 选项。这将是使用归纳逻辑，因为它没有明确地证明任何人口中 30% 的人会选择 A 选项。

由于存在这种不确定因素，在试图证明几何性质时应尽可能避免使用归纳推理。