几何/面积

圆的面积

找到圆面积的方法是

$Area=\pi r^{2}$

其中$r$ 是圆的半径；从圆上任意一点到圆心的线段。

三角形的面积

这里提到了三种计算三角形内部面积的方法。

第一种方法

如果将三角形的一条边选作底，那么就可以定义三角形和该底的高。高是垂直于底的线段，高的端点是非底边的顶点和底边或底边延长线上的一个点。设 B = 选作底边的边长。设
h = 垂直于底的线段，即高的端点之间的距离。然后三角形的面积由以下公式给出：

$Area={\frac {B\cdot h}{2}}$

这种计算面积的方法在底及其对应高在三角形中易于确定时非常有效。这在三角形是直角三角形时尤其如此，并且可以确定包含$90^{\circ }$ 角的两边的长度。

第二种方法

主要文章：海伦公式

，也称为海伦公式

如果知道三角形三边的长度，就可以用海伦公式计算三角形的面积。首先，必须计算半周长 s，方法是将三边长度的和除以 2。对于三边长度为$a,b,c$ 

$s={\frac {a+b+c}{2}}$

然后三角形的面积由以下公式给出：

$Area={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

如果三角形是针状的，也就是说，其中一条边比另外两条边短很多，那么计算面积可能很困难，因为所需的精度大于计算器或计算机的精度。换句话说，海伦公式在数值上是不稳定的。另一个更稳定的公式是

$Area={\frac {\sqrt {{\big (}a+(b+c){\big )}{\big (}c-(a-b){\big )}{\big (}c+(a-b){\big )}{\big (}a+(b-c){\big )}}}{4}}$

其中$a,b,c$ 已经排序，使得$a\geq b\geq c$ 。

另请参阅 MathWorld 上的海伦公式 和 JAVA 的浮点数如何损害每个地方的每个人

第三种方法

在一个边长为 $a,b,c$，角为 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 的三角形中，

$A={\frac {ab\sin(\gamma )}{2}}={\frac {bc\sin(\alpha )}{2}}={\frac {ac\sin(\beta )}{2}}$

这个公式成立是因为在公式 $A={\frac {Bh}{2}}$ 中，$h=\sin(\gamma )$。它很有用，因为您无需在单独的步骤中从角度求出高度，它也被用来证明正弦定理（将上述方程中的所有项除以 $a\cdot b\cdot c$，您将直接得到它！

矩形的面积

矩形的面积计算很简单，也很容易理解。选择其中一边作为底边，其长度为 $b$。然后相邻的一边是高，长度为 $h$，因为在矩形中，相邻的边垂直于选定的底边。矩形的面积由以下公式给出：

$A=b\cdot h$

有时，底边长度可能被称为矩形的长度 l，高度被称为矩形的宽度 w。然后面积公式变为

$A=l\cdot w$

无论对边使用什么标签，这两个公式都是等效的。

当然，边长为 $s$ 的正方形的面积将是

$A=s^{2}$

平行四边形的面积

平行四边形 在他们自己的章节中描述。

可以使用矩形面积公式来确定平行四边形的面积。公式是

$A=b\cdot h$

• $A$ 是平行四边形的面积。
• $b$ 是底边。
• $h$ 是高度。

高度是一条垂直线段，连接一个顶点与其对边（底边）。

菱形的面积

请记住，在菱形中，所有边长都相等。

$A={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2}}$

其中 $d_{1},d_{2}$ 代表对角线。

梯形面积

梯形的面积是通过取其两条平行边的算术平均值来推导的，形成一个面积相等的矩形。 $A={\frac {(b_{1}+b_{2})\cdot h}{2}}$ 其中 $b_{1},b_{2}$ 是两条平行底边的长度。

风筝面积

标准风筝四边形

风筝的面积是基于将风筝沿每条对角线分成四块，并将这些块用来形成一个面积相等的矩形。

$A={\frac {ab}{2}}$

其中 $a,b$ 是风筝的对角线。

或者，风筝可以被其较长的对角线 $a$ 分成两半，每半都是一个三角形。 因此，每个三角形的面积是

${\frac {a\cdot {\dfrac {b}{2}}}{2}}$

其中 $b$ 是风筝的另一条（较短的）对角线。

而风筝的总面积（由两个相同的三角形组成）是

$2\cdot {\frac {a\cdot {\dfrac {b}{2}}}{2}}=a\cdot {\frac {b}{2}}={\frac {ab}{2}}.$

有关更多详细信息，请参见 w:风筝（几何）#属性。

其他四边形的面积

其他 四边形 的面积计算起来稍微复杂一些，但如果四边形是定义良好的，仍然可以找到。 例如，一个四边形可以分成两个三角形，或者三角形和矩形的组合。 可以找到组成多边形的面积并用算术加起来。

定义角度的面积

圆形扇形的面积是整个圆形的面积的一部分。 当圆的半径为二的平方根时，圆的面积为 2 π，扇形的弧度测量对应于整个圆形面积的比例。 在微积分中，另一种称为双曲线的角度与指数函数有关。 这种类型的角度也对应于双曲线 xy=1 的扇形的面积。 面积测量的使用提供了一种统一这些角度类型的方法。 见 统一的角度。

导航

• 几何学主页
• 动机
• 介绍
• 几何/第 1 章 - 高中 定义和推理（介绍）
  • 几何/第 1 章/第 1 课 简介
  • 几何/第 1 章/第 2 课 推理
  • 几何/第 1 章/第 3 课 未定义术语
  • 几何/第 1 章/第 4 课 公理/公设
  • 几何/第 1 章/第 5 课 定理
  • 几何/第 1 章/词汇 词汇
• 几何/第 2 章 证明
• 几何/第 3 章 逻辑论证
• 几何/第 4 章 全等和相似
• 几何/第 5 章 三角形：全等和相似
• 几何/第 6 章 三角形：不等式定理
• 几何/第 7 章 平行线、四边形和圆
• 几何/第 8 章 周长、面积、体积
• 几何/第 9 章 棱柱、棱锥、球体
• 几何/第 10 章 多边形
• 几何/第 11 章 $\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ^{3}$
• 几何/第 12 章 角：内角和外角
• 几何/第 13 章 角：余角、补角、对顶角
• 几何/第 14 章 勾股定理：证明
• 几何/第 15 章 勾股定理：距离和三角形
• 几何/第 16 章 作图
• 几何/第 17 章 坐标几何
• 几何/第 18 章 三角学
• 几何/第 19 章 三角学：解三角形
• 几何/第 20 章 特殊直角三角形
• 几何/第 21 章 弦、割线、切线、内接角、外接角
• 几何/第 22 章 刚体运动
• 几何/附录 A 公式
• 几何/附录 B 习题答案
• 附录 C. 几何/公理和定义
• 附录 D. 几何/SMSG 欧几里得几何公理