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几何平均数

几何平均数是通过对一组数据的乘积开n次方来计算的。

${\tilde {x}}={\sqrt[{n\;}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}$

例如，如果数据集合是

1,2,3,4,5

几何平均数的计算方法如下

${\sqrt[{5}]{1\times 2\times 3\times 4\times 5}}={\sqrt[{5}]{120}}=2.61$

当然，当n很大时，计算可能很困难。利用对数的两个性质

$\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)$

$\log(a^{n})=n\cdot \log(a)$

我们发现，对几何平均数进行对数变换后，得到

$\log \left({\sqrt[{n}]{x_{1}\times x_{2}\times x_{3}\cdots x_{n}}}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log(x_{i})$

这将我们引向几何平均数的公式

${\tilde {x}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log(x_{i})\right)$

何时使用几何平均数

当几个数量相加得到总量时，算术平均数是相关的。算术平均数回答了这样一个问题：“如果所有数量都具有相同的值，那么为了达到相同的总量，这个值必须是多少？”

同样，当几个数量相乘得到积时，几何平均数是相关的。几何平均数回答了这样一个问题：“如果所有数量都具有相同的值，那么为了达到相同的积，这个值必须是多少？”

例如，假设您有一项投资，第一年回报率为 10%，第二年回报率为 50%，第三年回报率为 30%。它的平均回报率是多少？它不是算术平均数，因为这些数字的含义是，第一年您的投资乘以 (而不是加上) 1.10，第二年乘以 1.50，第三年乘以 1.30。相关数量是这三个数字的几何平均数。由 Hafiz G m 撰写

众所周知，几何平均数总是小于或等于算术平均数（当 A=B 时，等式成立）。该证明很短，并且来自于这样一个事实：$({\sqrt {A}}-{\sqrt {B}})^{2}$ 始终为非负数。尽管这个不等式可能非常强大，但在微积分定理证明中却时常出现。来源.

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