统计学/概率

掷两个骰子，它们的和等于7的概率是多少？

概率与一些不可预测性有关。我们知道可能出现哪些结果，但不能确定具体是哪一个。所有可能结果的集合起着基本作用。我们称之为样本空间，并用S表示。S的元素称为结果。掷骰子的样本空间为S = {1,2,3,4,5,6}。我们不仅谈论结果，还谈论事件，结果的集合（或样本空间的子集）。例如，掷骰子时，我们可以询问结果是否为偶数，这意味着询问“偶数”事件= E = {2,4,6}。在结果数量有限的简单情况下，我们为每个结果s (∈ S) 指定其概率（出现概率）p(s)（用小写p表示），它是一个介于0和1之间的数。这是一个非常简单的函数，称为概率函数，其唯一其他属性是所有概率的总和为1。我们也讨论事件A的概率P(A)（用大写P表示），它只是A中所有结果的概率之和。对于一个公平的骰子，p(s) = 1/6，对于每个结果s，P(“偶数”) = P(E) = 1/6+1/6+1/6 = 1/2。

非有限样本空间的概率的一般概念稍微复杂一些，尽管它建立在相同的想法之上。

简介

为什么在统计学教科书中要学习概率?

数学中很少有真正自包含的东西。许多数学分支相互接触和相互作用，概率和统计领域也不例外。对概率的基本理解对于理解基本统计学至关重要，而概率在没有统计学来确定“现实世界”概率的情况下在很大程度上是抽象的。

本节并非旨在对概率进行全面讲授，而是简单地触及本课程所需的概率基础，涵盖贝叶斯分析的基础知识，以供那些寻求更有趣内容的学生使用。这些知识对于尝试理解各种分布的数学原理将非常宝贵，这些分布将在后面介绍。

集合概念

集合是一组对象。我们通常用大写字母表示集合，例如，A是这个房间里所有女性的集合。

• 集合A的成员称为A的元素，例如，帕特里夏是A的一个元素（帕特里夏∈ A）；帕特里克不是A的一个元素（帕特里克∉ A）。
• 全集U是所考虑的所有对象的集合，例如，U是这个房间里所有人的集合。
• 空集或空集∅没有任何元素，例如，这个房间里身高超过2.8米的男性集合是一个空集。
• 集合A的补集A^c是U中不在A中的所有元素的集合，即，x ∈ A^c 当且仅当 x ∉ A。
• 设A和B为2个集合。如果A的每个元素也是B的元素，则A是B的子集。写成A ⊂ B，例如，这个房间里戴金属框眼镜的女性集合 ⊂ 戴眼镜的女性集合 ⊂ 这个房间里的女性集合。

• 两个集合A和B的交集A ∩ B是共同元素的集合。即，x ∈ A ∩ B 当且仅当 x ∈ A 且 x ∈ B。

• 两个集合A和B的并集A ∪ B是A或B中所有元素的集合。即，x ∈ A ∪ B 当且仅当 x ∈ A 或 x ∈ B。

韦恩图和符号

韦恩图以视觉方式对定义的事件进行建模。每个事件用一个圆圈表示。具有共同结果的事件将重叠，被称为事件的交集。

韦恩图。

计算概率

否定

否定是一种表达“非A”的方式，因此表示A的补集已经发生。注意：事件A的补集可以表示为A'或A^c
例如：“六面骰子不落在1上的概率是多少？”（六分之五，或p = 0.833）

$P[X']=1-P[X]$

事件的补集

或者，更口语化地说，“‘非X’的概率加上‘X’的概率等于1或100%。”

相对频率描述了成功次数与总结果次数之比。例如，如果抛硬币50次，其中29次正面朝上，那么相对频率是

${\frac {29}{50}}$

两个事件的并集是指你想知道事件A或事件B。
这与“和”不同。“和”是交集，而“或”是事件的并集（两个事件合在一起）。


在上面的事件示例中，你会注意到...

事件A是星星和钻石。

事件B是三角形、五边形和星星。
(A ∩ B) = (A 和 B) = A 与 B 的交集，只有星星
但 (A ∪ B) = (A 或 B) = A 与 B 的并集，是所有东西。三角形、五边形、星星和钻石
注意，事件A和事件B都有星星作为共同点。但是，当你列出事件的并集时，你只列出星星一次！
事件A = 星星，钻石 事件B = 三角形，五边形，星星
当你将它们组合在一起时，你得到（星星+钻石）+（三角形+五边形+星星），但是等等！星星被列出了两次，所以需要从列表中减去多余的星星。
你应该注意到，是交集被列出了两次，所以你必须减去重复的交集。

合取

事件并集的公式：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

示例
设 P(A) = 0.3，P(B) = 0.2，P(A ∩ B) = 0.15。求 P(A ∪ B)。
P(A ∪ B) = (0.3) + (0.2) - (0.15) = 0.35

示例
设 P(A) = 0.3，P(B) = 0.2，P(A ∩ B) = 0。求 P(A ∪ B)。
注意：由于事件的交集为空集，那么你便知道事件是分离的或互斥的。
P(A ∪ B) = (0.3) + (0.2) - (0) = 0.5

全概率定理

全概率定理[1] 是一个定理，在离散情况下，它表明如果 {\displaystyle \left\{{B_{n}:n=1,2,3,\ldots }\right\}}\left\{{B_{n}:n=1,2,3,\ldots }\right\} 是样本空间的一个有限或可数无限划分（换句话说，一组两两不相交的事件，它们的并集是整个样本空间），并且每个事件 {\displaystyle B_{n}}B_{n} 是可测的，那么对于同一个概率空间的任意事件 {\displaystyle A}A

{\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})}{\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})} 或者，另一种说法是[1]

{\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\mid B_{n})P(B_{n}),}{\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\mid B_{n})P(B_{n}),} 其中，对于任何 {\displaystyle n}n，如果 {\displaystyle P(B_{n})=0}{\displaystyle P(B_{n})=0}，这些项将被简单地从求和中省略，因为 {\displaystyle P(A\mid B_{n})}{\displaystyle P(A\mid B_{n})} 是有限的。

条件概率

给定另一个事件发生的情况下，一个事件的概率是多少？例如，给定老鼠找到了迷宫的房间，那么它找到迷宫尽头的概率是多少？

这用以下方式表示

$P[A|B]$

或“给定B的情况下，A的概率”。

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

如果A和B彼此独立，例如抛硬币或生育孩子，那么

$P[A|B]=P[A]$

因此，“给定上一个孩子是男孩，那么下一个孩子是男孩的概率是多少？”

这也可叠加，其中A的概率有几个“给定”。

$P[A|B_{1},B_{2},B_{3}]$

或“给定B₁、B₂和B₃为真，那么A的概率是多少？”

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