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调和平均数

当我们想要对速度等数量进行平均时，不能使用算术平均数。

请看以下示例

示例 1： 我家到镇上的距离是 40 公里。我以每小时 40 公里的速度开车到镇上，然后以每小时 80 公里的速度返回家中。我这次旅行的平均速度是多少？

解决方案： 如果我们只取我行驶的两个速度的算术平均数，我们会得到每小时 60 公里。然而，这不是正确的平均速度：它忽略了我在 40 公里/小时的速度下行驶的时间是 80 公里/小时速度下行驶时间的两倍。为了找到正确的平均速度，我们必须计算调和平均数。

对于两个数量 A 和 B，调和平均数由下式给出：${\frac {2}{{\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}}}$

这可以通过在分母中加和并乘以倒数来简化：${\frac {2}{{\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}}}={\frac {2}{\frac {B+A}{AB}}}={\frac {2AB}{A+B}}$

对于 N 个数量：A、B、C......

调和平均数 = ${\frac {N}{{\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}+{\frac {1}{C}}+\ldots }}$

让我们尝试将上面的公式应用于我们的示例

调和平均数 = ${\frac {2AB}{A+B}}$

我们的值是 A = 40，B = 80。因此，调和平均数 $={\frac {2\times 40\times 80}{40+80}}={\frac {6400}{120}}\approx 53.333$

这个结果正确吗？我们可以验证一下。在上例中，两个城镇之间的距离为 40 公里。因此，以 40 公里的速度从 A 到 B 的行程需要 1 小时。以 80 公里的速度从 B 到 A 的行程需要 0.5 小时。往返距离（80 公里）的总时间将为 1.5 小时。那么平均速度将为 ${\frac {80}{1.5}}\approx$ 53.33 公里/小时。

调和平均数在物理上也有意义。