三角学/教师笔记/关于本书

本页为那些已经了解三角学的人解释了该书(或书籍)的结构和内容。我们还指出了教学要点。这可以帮助老师，但也为那些想添加材料的人提供指导，让他们知道应该把材料放在哪里，而无需他们先阅读整本书。

书籍的特点（一览）

有三本书

• 第一册，基础三角学，与可汗学院视频有广泛的交叉引用。
• 第二册探索了一些更漂亮但通常不会被检验的扩展，特别是与三角形相关的各种圆。
• 第三册将正弦余弦和指数函数联系起来，使用幂级数、复数和微积分。

所有三本书

• 都有为爱好者而设的部分
• 都有习题解答和练习题。
• 数学直接应用于计算机科学的页面用一个符号标记。

本书与更传统的教科书之间的一些区别包括对“如何检查这一点？”，“如何学习/记忆这一点？”，“哪些约定是任意的，哪些是非任意的？”，“我们为什么关心证明？”等问题的更大兴趣。

三角学第一册

基础三角学本部分大致与可汗学院三角学课程（K-12）处于同一水平，旨在与其配合使用。我们不能假设学生精通代数，因此在本部分中，我们逐步解释了许多内容。我们使用德国学校中使用的约定，即在右侧写下我们将在下一步中要做的内容。

我们可以很好地与其他资源、视频、在线练习等配合使用，并提供相关的链接以方便使用。我们也有自己的练习题。使用我们的课程并不一定需要访问外部链接。总的来说，我们页面上的练习比那些可以自动创建的更有趣，我们希望这将鼓励学生真正完成它们，因为当然，学生必须以某种方式练习这些技能，并真正参与课程。

三角学第二册

几何扩展 - 通常不是考试内容本部分包含更多微积分前的三角学，不过使用了一些向量和矩阵数学。代数的进展速度比第一册更快，但向量和矩阵数学在使用时会详细解释。这些主题不像第一册那样是理解三角学的核心。对于许多标准的三角学课程来说，第二册是可选材料。本书加深了对三角形和圆之间多种关系的理解，并使用三角函数来研究椭圆和螺旋线。它展示了如何解决一些更难的三角函数恒等式。一些几何材料的动机来自三角学在计算机中的应用。

三角学第三册

微积分和复数中的三角学对于这部分更高级的内容，读者需要学习一些基本微积分，熟悉多项式和微分，并“理解”负一的平方根的概念。对代数的更多熟练程度是假设的。这与基础部分相比是一个巨大的飞跃，这就是为什么我们不混合这三个部分的原因。

一些主题触及了深奥的数学。这样做的意义在于，三角学通过傅里叶变换进入更深层次的方式确实很深。引入一些更高级材料中使用的工具，如庞特里亚金对偶性、本征函数，实际上有助于使所有这些变得更清晰。可以通过类比来理解这一点。从复分析的高点来看，三角学中的加法公式要简单得多，也少得多。

每本“为爱好者而设”的子章节

所有三本书都有“为爱好者而设”的章节。

• 第一册中一个例子是使用纽约和东京的纬度和经度以及地球半径来计算它们之间的距离。这显然是为爱好者而设的。这比你通常期望有人在基础水平上进行的计算要复杂得多。“为爱好者而设”的基本部分只使用到那时为止已经教授过的三角学，没有微积分、复数或联立方程。
• 第二册中一个例子是德劳内三角剖分，它在计算中有许多与几何相关的应用。第二册主要部分关于外接圆介绍了三元积所需的向量数学。
• 第三册中一个例子是切比雪夫多项式，展示了它们是如何 (a) 以余弦/正弦的形式展开的，以及 (b) 为什么它们会逼近最小最大多项式（对于区间 [-1,1]）。

三角学第一册内容

不包括微积分、幂级数、向量或复数。术语将在第一次使用时在页面上解释。

• 引言我们在首页直接给出一个公式（勾股定理）。我们传达了公式是核心的观点，这是数学，没有必要否认它，并说明三角学的用途。
• 三角形内角和为 180 度：我们使用本页来传达你可以根据一些信息计算出更多关于三角形的信息的观点。术语“等腰”、“等边”和“全等”被引入。我们还从很早就开始形成“证明”的概念。有很多例子说明某件事是正确的，但这与“证明”不同。然而，我们还没有给出任何证明。一个习题解答使用代数来解$2a+50=180$。练习包括在该图形中找到全等三角形...
• 勾股定理我们定义了“斜边”并检查学生是否能够识别斜边，展示公式是如何工作的以及如何重新排列它。我们查看了具体的例子，30-60-90 和 45-90-45 三角形。确保他们在不同的方向上也能够识别它们。然后，我们展示了如何多次使用勾股定理，例如在螺旋形中使用，以及在“金字塔高度”的例子中使用。我们提醒说，我们还没有证明勾股定理是正确的。练习。
• 证明：勾股定理我们给出了勾股定理的漂亮演示，以展示它为什么是正确的，然后是欧几里得的证明。
• 练习：一个谜题三角形

  

  图表如何误导人

  三角形谜题（由保罗·库里发明）。这以一种有趣的方式传达了严谨性的重要性。那些想出答案的学生将更深刻地理解为什么你需要在证明中谨慎并证明每一步。仅仅两件事“看起来”一样是不够的。那些没有自己想出解释的学生仍然练习了计算面积和使用勾股定理。之后，当我们讲完余弦后，我们建议他们回去计算角度，这样他们就可以获得第二次机会。通过在之前的练习中讨论过斜率（带有路标），甚至在那些斜率中具有相同的接近比率，我们已经使这项练习变得更容易。
• 证明：内角和为 180 度:

  

  内角和为 180 度 - 使用该图演示

  我们给出了一个漂亮的演示，使用三角形被分成四个较小三角形的图像来展示为什么这是正确的。学生被要求说服自己，当三角形有一个钝角时，这个结论仍然是正确的。确保他们知道较大的三角形没有“更大的角”。我们随后给出了传统的证明。
• 练习：绘制 (Cos t, Sin t) 这是课程中非常重要的一页，在这里我们向学生介绍 $\cos t$ 和 $\sin t$ （以度为单位）。我们要求学生使用他们的计算器并绘制一些对 $(\cos t,\sin t)$ 对于各种值 $t$，如 0,30,60,45,90,120,135... 它们在图上出现在哪里？定义 $\sin$ 和 $\cos$ 作为单位圆上的点的 x 和 y。还要注意 sin/sine 和 coz/cosine 的发音。请注意，以这种方式使用单位圆来介绍余弦和正弦是不寻常的，但它比从 soh-cah-toa 开始更容易。计算器上的余弦和正弦按钮是“单位圆”的发现可能会让人感到高兴和惊喜。
• Soh-Cah-Toa ，以 30-60-90 三角形为例。然后是 5-85-90 三角形！这与单位圆相关，并提醒当斜边为 1 时，theta 的余弦是邻边的长度。
• 正弦平方加余弦平方 $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ 它只是披着伪装的勾股定理。解释了符号，即 $(\sin x)^{2}$。需要一些时间来解释，将介于负一和正一之间的数字平方会使其更接近零。
• 弧度 我们可以从 这页 中提取一些弧度内容。
• 单位圆 圆形图表和三角函数值表（作为根式）。
• 已知 ASA 求解三角形 已知 ASA 求解三角形
• 已知 SAS 求解三角形 已知 SAS 求解三角形
• 最难的三角形求解问题 我们能想到的最难的三角形求解问题是什么？
• 示例：屋顶面积 使用真实的建筑师图纸。
• 示例：油轮抵达港口 显示它行驶的路线和行驶的距离。
• 正弦定律 正弦定律
• 余弦定律 余弦定律
• 正切定律 正切定律
• 相位和频率 $\sin(\pi /2-\theta )$
• 正弦、余弦和正切的图
• 正弦平方图 $\sin ^{2}\theta$ 的图
• 正弦加法公式 不仅仅是公式，还包括对证明的详细讲解。你如何想出必要的图表？
• 余弦加法公式
• 二倍角公式

• 波浪进出相位
• 拍频
• 余割、正割、余切 余割、正割、余切。除了公式，我们还用邻边为 1 或对边为 1 的三角形进行说明。我们不是这些函数的忠实粉丝，特别是后面许多恒等式。在这个级别上，提到这些函数就足够了，然后坚持使用 1/sin、1/cos、1/tan，否则我们可能会使用它们。
• 余割、正割和余切的图
• 反三角函数
• 其他内容
• 记住三角函数公式 记住公式 - 这里没有记忆技巧。这都是关于检查公式是否合理。我链接的页面有一些公式，我们将添加关于如何记住它们或立即推导出它们的讨论。

三角函数入门 1：为爱好者而写

其中一些比其他更容易；帮助使这些内容对孩子们更容易理解，非常感谢。

• 介绍
• 正多边形 六边形的角之和，以及百万边形的角之和，以及边的长度。将多边形在中心、一个顶点或观察外角处划分，以显示有多种方法可以做同样的事情。
• 哪些正多边形可以构成镶嵌图案？ 在这里，我们允许混合，例如正方形和八边形。
• 纽约到东京的距离 使用纬度和经度，以及从弦长计算弧长。
• 利萨如图形 利萨如图形
• CORDIC 算法 这是一种很好的几何展示，说明计算机如何使用角度 $2^{-n}\pi \,$ 的一个小表快速计算正弦和余弦。
• 勾股数 生成勾股数的公式
• 球面三角形 球面三角形。

三角学 第 2 册 目录

需要第 1 册，对代数更熟练 - 因为展示的步骤更少 - 并且对于某些部分，需要对矩阵和向量有初步的了解。

• 介绍
• 三角学/三角函数的几何定义
• 泰勒斯定理

  

  泰勒斯定理的动画演示

  也解释同样的原理适用于任何角度，不仅仅是 90 度。
• 椭圆 使用正弦和余弦绘制椭圆。演示的一部分是椭圆作为透视中的圆形。我们表明，这对真实透视和正投影（更简单）都是有效的。
• 螺旋 使用 $\sin$ 和 $\cos$ 绘制螺旋
• 外接圆 介绍了三重积及其解释。
• 内切圆
• 外接圆
• 外接圆三角形
• 垂足三角形
• 中心之间的距离
• 九点圆

三角学 第 2 册：爱好者

• 德劳内三角剖分 一个很好的外接圆应用。
• 无需正弦
• 不常用三角恒等式 三倍（及更高）角公式，以及一些更漂亮但不太有用的三角恒等式，包括 这些。
• 度分秒 度分秒（我们不需要在正常的三角学中使用它们，但为了完整性应该包含它们）我并不真正喜欢这个页面，所以希望其他感兴趣的人可以写它。

三角学 第 3 册 目录

3D 中的旋转（包括四元数）将进入关于矩阵的维基教科书，即不在此。可能向量和标量以及三重积也属于那里。

• 简介 简介 - 我们在整个过程中使用弧度。（简要）复数和多项式微分的回顾。
• 余弦的导数
• 正弦的导数
• e 的 x 次方的幂级数 将从 $2^{n}$ 和 $3^{n}$ 开始，并推导出 $e^{n}$ 的幂级数。提醒一下，$4!$ 表示 1x2x3x4=24。我想引用一本新的维基教科书 e-pi-phi-i，它将更深入地探讨 $e$（和 $\pi$ 和 $\phi$ 和 $i$)，它将有很棒的插图，尤其是对于 phi（螺旋）
• 余弦的幂级数 然后我们将对 cos 做同样的技巧
• 正弦的幂级数 然后对于正弦
• 正弦、余弦、指数幂级数的关系 然后证明 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$。

• 正弦中的方波 将方波分解成正弦波
• 吉布斯现象 吉布斯“超调”。
• 简谐振子

三角学 第 3 册：爱好者

• 严格的三角学 给出三角函数的严格表述，描述为什么微积分通常会涉及。（想法是定义一个角度需要圆的弧长，它被严格地定义为一个积分。）
• 切比雪夫多项式 切比雪夫多项式是对最佳（最小最大误差）多项式的良好近似。

教师笔记

• 关于本书 此页面。
• 常见学生错误 列出需要注意的事情。